miércoles, 13 de octubre de 2010

La hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros 2 fijos (llamados focos F1, F2) es constante e igual al eje mayor V1, V2.
En el dibujo se puede observar que la distancia de F2 a un punto (en azul) menos la distancia de F1 a ese punto (en verde) es igual a V1-V2.
Para construirla se cogen puntos (desde F1 hasta el infinito y del infinito hasta F2), por ejemplo desde A hasta V1 y se hace con ella un arco con centro en F1. A continuación se coge la distancia de A a V2 y se hace un arco con centro en F2. La intersección de los 2 arcos es un punto de la hipérbola.













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Se puede dibujar una rama hipérbólica por sección de un cono en sistema diédrico: el plano vertical a que corta al cono de vértice V determina la rama de la hipérbola. Para calcularla pasamos un plano vertical m por el eje del cono, éste corta a la circunferencia base del cono en P1, punto que proyectamos al alzado obteniendo P2 sobre la línea de tierra. El plano m corta en T al plano a, por este punto hacemos una vertical hasta que corte a P2-V en G. Los demás puntos se determinan de igual forma. Para determinar el vértice E se hace una circunferencia de centro O tangente al plano a, ésta corta a la línea de tierra en Z. Por Z se hace una vertical hasta que corta a la generatriz del contorno del cono en H y por este punto una horizontal que corta a V-O en E.





















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La intersección de un conjunto de circunferencias concéntricas equidistantes son curvas hiperbólicas.



















Pensemos en un lago en el que tiramos dos piedras, son los focos. Dividimos la distancia entre ellos en 3 partes para marcar un momento en el que las circunferencias pasan por esos puntos. Las circunferencias concéntricas se cortan en varios puntos que determinan una curva hipérbola.
 Como las curvas crecen y se amplían cada vez más no pueden ser curvas cerradas como la circunferencia o la elipse, el carácter de curvas que se abren cada vez más, que van hacia el infinito, las convierte en en una curva asintótica que no puede ser otra que una cónica hipérbola, ya que la economía de la naturaleza genera las curvas más suaves entre los puntos y esta es una característica propia de las cónicas.
 El centro de la hipérbola quedará entre los dos focos, hacemos centro en este punto con el radio hasta uno de los focos y obtenemos en las verticales por los vértices B C las intersecciones por donde pasan las dos asíntotas, además de por el centro B1.
Si unimos los puntos de intersección de las circunferencias concéntricas obtenemos las dos ramas hiperbólicas que pasan por ejemplo por los puntos B C del eje horizontal.




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Dados 2 vértices cualesquiera de una hipérbola AB, construimos un rectángulo con vértice en A y dividimos sus lados en partes iguales como se dispone en la figura. Desde B trazamos una radiación que pase por los puntos 1, 2, 3 en disposición vertical. Por los puntos del otro lado del cuadrado hacemos otra radiación hasta A.
La intersección de las dos radiaciones son los puntos de la curva.























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Los puntos que se deben coger para construir la hipérbola deben estar, al igual que la elipse, entre los dos focos. La diferencia estriba en que en la elipse los puntos están dentro del segmento comprendido entre ambos puntos, mientras que en la hipérbola los puntos escogidos van desde un foco hacia el infinito y desde el infinito hacia el otro foco.
Manteniendo que toda recta tiene un punto en el infinito, se podría deducir que la hipérbola, al igual que la parábola tiene un único punto en el infinito, ya que pertenece a la misma curva y está localizado en la misma recta, no obstante en homología tenemos que cuando la recta límite corta la circunferencia en dos puntos, su figura homóloga ha de tener esos dos puntos en el infinito.






















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En la figura podemos ver en planta y alzado a la izquierda (Sistema diédrico) y en color negro un hipérboloide de revolución, se engendra por una rama hiperbólica que gira en torno a un eje. (También se puede engendrar mediante líneas rectas, por lo que es una superficie reglada alabeada). El contorno de la superficie en el alzado es una hipérbola con sus dos ramas correspondientes.
Para construir el dibujo basta con hacer un cilindro determinado por sus generatrices, si giramos una de las dos circunferencias la de la base o la de la cara superior permaneciendo quieta la otra, tenemos que las generatrices del cilindro aparecen oblicuas, ya no son rectas ortogonales a la base y por tanto la superficie tiene una concavidad en la zona central, tal y como se ve en el alzado. Para que se entienda mejor la figura se han puesto distintas proyecciones de la misma en color azul a la derecha y en el centro la superficie de color rojo gira en torno a un eje de revolución de color verde.



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Para calcular las asíntotas o rectas tangentes a la hipérbola en el infinito hacemos una circunferencia c de centro O y radio O-F1. Por la intersección de las verticales por V1-V2 y la circunferencia c tenemos 4 puntos que unidos a O definen las asíntotas de la hipérbola.























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Un ejemplo numérico lo tenemos con la hipérbola del dibujo: De V1 a un punto mide 28,69, con centro en F2 se hace un arco con esa medida.
De V2 a ese punto es 13,6, con centro en F1 se hace otro arco con esa medida que en la intersección con el arco anterior tenemos un punto de la hipérbola. La diferencia entre las 2 magnitudes es la distancia entre vértices: 15,09, según el concepto métrico de la hipérbola.




















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Intersección de recta e hipérbola




Para calcular la intersección de una recta HL (en color negro) con una hipérbola se construye la circunferencia focal que es aquella que tiene como centro uno de los focos E de la hipérbola y por radio la distancia entre los dos vértices BD de la misma.
Se calcula el simétrico F’ del otro foco F respecto a la recta dada, dibujamos una circunferencia que pase por el foco y su simétrico y que al mismo tiempo corte a la circunferencia focal en dos puntos MN. La intersección de la línea definida por MN y de la línea definida por el foco y su simétrico F-F’ determina el centro radical  CR.
Si construimos las tangentes a la circunferencia focal desde el centro radical  CR obtenemos dos puntos de tangencia OP que unidos con el otro foco C determinan en la prolongación e intersección con la recta dada los puntos de corte T1 T2 de esta recta con la hipérbola.









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Tangentes a la hipérbola.
Para construir las rectas tangentes desde un punto E a la hipérbola, construimos una circunferencia (en color amarillo) cuyo centro sea el punto dado y el radio sea la distancia desde ese punto hasta uno de los focos E-F1.
 A continuación construimos la circunferencia focal (en color violeta), que es aquella que tiene centro en el otro  foco F2  y como radio la distancia entre los vértices de la hipérbola V1-V2.
Podemos observar en el dibujo que las dos circunferencias se cortan en dos puntos A’-A’1, si alineamos estos puntos con el segundo foco F2, obtenemos al prolongar estas dos rectas dos puntos de intersección con la hipérbola T1 y T2, estos dos puntos son los de tangencia de las rectas tangentes a la hipérbola desde el punto exterior dado E. En consecuencia unimos estos puntos de tangencia con el punto dado  y construimos las dos rectas rojas que son en realidad las dos tangentes a la curva.
Como podemos observar en el dibujo le hemos denominado a cada una de ellas bisectriz, 1 y 2 respectivamente. Ello es debido a que si tomamos uno de los puntos de tangencia, por ejemplo T1, y lo unimos con los dos focos mediante dos rectas, podemos observar que ambas tienen por bisectriz la recta tangente, en este primer caso la bisectriz1.
 Además se cumple que respecto a esta bisectriz o tangente desde un punto, que el primer foco F1 tiene como punto simétrico respecto a la primera bisectriz el punto de intersección entre las dos circunferencias A’, igualmente el otro punto de intersección de las dos circunferencias A’1  es el simétrico de este primer foco F1 respecto a la segunda bisectriz.

La recta perpendicular p a la curva que pasa por los puntos de tangencia –en este caso por T1- es en realidad la perpendicular a la tangente en ese punto, como podemos observar en el dibujo.


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En el dibujo podemos observar un punto M desde el que se han trazado las dos tangentes -en color verde- a la hipérbola, para construir las tangentes por M hemos hecho una circunferencia de color marrón que pasa por uno de los focos H de la hipérbola. A continuación hemos dibujado la circunferencia focal CF con centro en el otro foco K y hemos alineado este foco con los puntos de intersección H'  H'1 de las dos circunferencias obteniendo en la prolongación de estas rectas los puntos de intersección con la hipérbola, esto dos puntos N O  son los puntos de tangencia de las rectas tangentes desde el punto M.
Como podemos observar en el dibujo, los puntos de intersección de las dos circunferencias tienen por simétricos respecto a las rectas tangentes el otro foco H. Como novedad respecto al ejercicio anterior podemos observar que la circunferencia principal, que es aquella que tiene como centro L el de la hipérbola y radio desde el centro de la hipérbola hasta uno de los vértices J de la hipérbola, intercepta en las tangentes o ejes de simetría los puntos medios de los simétricos anteriores: H y H'1, son dos puntos diametralmente opuestos respecto al centro Q.
Asimismo H y H', son dos puntos diametralmente opuestos respecto al centro P.

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