miércoles, 13 de octubre de 2010

Las cónicas

Cuando un cono circular recto es seccionado por un plano que no pasa por el vértice se pueden generar las siguientes curvas:
Elipse (e): el plano de corte no es paralelo a ninguna generatriz y corta a todas las generatrices del cono. Es una curva cerrada sin puntos en el infinito.
Parábola (p): el plano de corte es paralelo a una generatriz y tiene un punto en el infinito.
Hipérbola (h): el plano de corte es paralelo a 2 generatrices y tiene dos puntos en el infinito.
Circunferencia: el plano es ortogonal al eje de revolución y es un caso particular de la elipse en el que los dos ejes son iguales.
























Cónicas por homología:

http://homologias.blogspot.com.es/2010/10/construccion-de-conicas-por-homologia.html


Generación proyectiva de las cónicas.

Como en toda homología, todas las series de puntos se corresponden con otras series y los haces de rectas se corresponden con otros haces de rectas, una cónica se convierte en otra cónica por homología.
En la figura vemos varias propiedades de las homologías sobre las cónicas, los puntos homólogos S S’están alineados con el centro de proyección O, la rectas homólogas a a’ se cortan en el eje, los puntos del eje son dobles u homólogos de sí mismos, que quiere decir que si una figura corta al deje de homología en los puntos, su homóloga pasa por esos dos puntos, resultando estos invariables.
Las tangentes a una cónica lo son también a su homóloga. En dos crónicas homólogos el polo y polar de una tiene en sus homólogos otro polo y polar de la otra.
Cualquier cónica es posible transformarla en una circunferencia, de esta forma obtenemos puntos homólogos de la circunferencia obteniendo así nuevos puntos de la cónica.


Dados dos conjuntos de puntos SAB EDC sobre una cónica, si unimos cada uno de ellos con los del otro conjunto, excepto el que tiene en frente, tenemos en la intersección de todas las líneas tres puntos M N O que están alineados.
Como ya hemos visto este procedimiento sirve para obtener nuevos puntos de la cónica, que definida por cinco puntos obtenemos el sexto, el séptimo, etcétera.
Como en geometría los puntos y las rectas son términos correlativos, se pueden intercambiar unos por otros, de esta manera una cónica definida por cinco puntos se puede transformar en otra definida por cinco rectas. Cualquiera de estos cinco elementos se puede transformar resultando que podemos construir la cónica con cinco elementos cualesquiera entre puntos y rectas.


 En el dibujo observamos varias circunferencias concéntricas que cortan al eje horizontal en varios puntos (A, B, C,...) por los que hacemos rectas verticales.
 Considerando el punto rojo como foco de una parábola y tomando una de las tangentes, por ejemplo la que pasa por el punto I, tomamos el punto medio entre ambos puntos y ese es el vértice de la parábola (E). 
La intersección de las circunferencias concéntricas con las rectas verticales nos determinan la parábola roja.
 Consideremos ahora la tangente de color verde que pasa por el punto H. El vértice quedará en el punto medio de AH. La intersección de cada una de las circunferencias concéntricas con las verticales nos determinan los cuatro puntos negros por donde pasa la parábola verde.
 Por cuatro puntos siempre pasan tres cónicas, si ahora tomamos un punto interno hacia la izquierda, como por ejemplo el punto A, tenemos que por los cinco puntos pasa una elipse, mientras que si tomamos un punto externo hacia la derecha, por ejemplo el punto J tenemos que por los cuatro puntos negros más J pasa una hipérbola, ello es debido a que en el caso del elipse es una curva cerrada mientras que en el caso de la hipérbola los cuatro puntos pueden pertenecer a una rama de la hipérbola pero el punto J ya determina otra rama.



Dadas cuatro rectas abcd y un punto M incidente en una de ellas d determinar la cónica que pasando por el punto es tangente a las rectas dadas. Hacemos una circunferencia con un diámetro cualquiera (en color amarillo) tangente al punto incidente M sobre la recta d que va a ser el eje. Tomando una de las rectas d como eje de homología, la homóloga de la primera recta c será la recta tangente a la circunferencia desde la intersección del eje d con la recta c. La intersección de cada recta c y su homóloga c’ con la otra recta b y su homóloga b’ adyacentes respectivamente, determina una nueva recta que forma parte de una radiación (rectas en color verde) en cuyo vértice O está el centro de homología.
Si queremos obtener nuevos puntos de la elipse, tomamos dos puntos homólogos cualesquiera, por ejemplo R R’. Haciendo una recta cualquiera que pase por R’ vemos que corta a la circunferencia en P’, tenemos que alineando el centro de homología con P’ hasta que corte al eje sobre el punto V, y alineando V con R tenemos en la intersección con OP’ un punto de la elipse P.


Otro ejemplo análogo al anterior pero con el eje exterior a la cónica. Tenemos varios puntos sobre la cónica ABCE y una recta tangente m sobre un punto de ella A.
Haciendo una circunferencia amarilla tangente a la recta dada m y que pasa por el punto A, y alineando el centro de la homología A con los puntos de la elipse BCE, tenemos en la intersección con la circunferencia sus homólogos B’C’E’. Haciendo una recta cualquiera que pase por 2 puntos de la circunferencia C’ D’ corta al eje en un punto L, que unido con el punto homólogo conocido de la elipse C tenemos en la intersección de esta recta CL con la recta doble AD’ un nuevo punto de la elipse D.



Correlativo del ejercicio anterior, tenemos como datos cuatro puntos y uno de ellos incidente sobre una recta tangente a la cónica. Se trata de determinar la cónica que pasa por los puntos BCDE y es tangente a la recta a en el punto B. Si tomamos el punto B como centro de homología y hacemos una circunferencia (en color amarillo) tangente a la recta a en este punto B, construimos las rectas dobles (rectas que pasan por el centro de homología B y por los puntos dados) que pasan por los puntos CDE. Éstas rectas cortan a la circunferencia en los puntos C’D’E’, respectivamente.
Las rectas homólogas CE C’E’se cortan en un punto del eje Y, otro par de rectas CD C’D’ se cortan en otro punto del eje S, dos puntos del eje YS determinan su posición.
Si queremos construir las tangentes a la cónica desde un punto cualquiera T, hacemos la tangente f desde ese punto a la circunferencia. Alineamos el punto de tangencia S’ con el centro de homología B hasta que corte al eje en un punto. Calculamos el homólogo de este punto y obtenemos el punto de tangencia S con la cónica y la tangente f u homóloga de la tangente f’ a la circunferencia.


En los casos anteriores los elementos, fueran puntos o fueran rectas tangentes, eran siempre incidentes (cuando existía una tangente, había un punto de la cónica que estaba sobre ella) y por lo tanto existía una única cónica que pasaba por los puntos y era tangente a las rectas. En el caso de que los elementos no sean incidentes, la solución ya no es sólo una única cónica sino que pueden ser más, por ejemplo, si tenemos tres puntos y dos tangentes a la cónica, como es el enunciado de este dibujo, el ejercicio tiene cuatro soluciones.
En el ejercicio sin embargo aparece resuelta una única solución, aquella en la que la circunferencia amarilla es tangente a las dos rectas dadas y pasa por dos puntos de la cónica.
Si alineamos el punto E el centro de homología O corta a la circunferencia en el punto E’. En este punto lo alineamos con otro punto T’ de la circunferencia y corta al eje en un punto que unido con E determina T en la intersección de la recta OT’. T es un punto de la cónica y si unimos su homólogo T’ con el punto de tangencia G’ tenemos un punto de intersección en el eje que unido al punto T tenemos en la prolongación el punto G en la intersección con la tangente b.




Si desde C hacemos las tangentes a una cónica,  sus puntos de contacto definen la polar g. 
Desde C tenemos las secantes a la cónica (p. ej., recta verde) que la cortan en H G.
CHEG forman una cuaterna armónica, puntos por los que pasan las fugas de un cuadrilátero en perspectiva cónica y sus diagonales.
Demostración a partir de los teoremas de Menelao y Ceva:








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